Nicolò Vignatavan - Equazioni e disequazioni lineari di primo grado: definizioni, caratteristiche, formule e differenze di rappresentazione sul piano cartesiano

Equazioni e disequazioni lineari di primo grado: definizioni, caratteristiche, formule e differenze di rappresentazione grafica sul piano cartesiano

prof. Nicolò Vignatavan

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Un’equazione di primo grado è una equazione polinomiale il cui grado, ovvero il massimo valore numerico ad esponente dell’incognita o delle incognite, risulta 1, nel momento in cui tale polinomio, ridotto in forma normale, ovvero dopo aver sommato tra di loro tutti i monomi simili che lo componevano, viene posto uguale a 0.

Se in una equazione ridotta in forma normale, ad esponente dell’incognita, compare un valore numerico superiore ad 1, allora tale equazione verrà definita di grado superiore al primo.

Le equazioni ad una o più incognite o variabili, se risultano, ridotte in forma normale, di primo grado, vengono denominate equazioni lineari, poichè, rappresentandole sul piano cartesiano, corrispondono, graficamente, a rette, dunque a figure geometriche lineari.

La forma normale alla quale un’equazione di primo grado ad una variabile (od incognita) viene ridotta è la seguente: ax + b = 0, che risolta in x = -b/a, viene discussa in questi termini:

se a è diverso da 0 e b diverso da 0, l’equazione ammette una soluzione,

se a è diverso da 0 e b uguale a 0, l’equazione risulta 0,

se a è uguale a 0 e b diverso da 0, l’equazione risulta impossibile,

se a è uguale a 0 e b uguale a 0, l’equazione risulta indeterminata.

Invece, una disequazione di primo grado, dunque lineare, è una diseguaglianza polinomiale, ad una o più incognite o variabili, di grado esponenziale massimo = 1, in cui, in sostituzione del simbolo matematico “=” che testimonia un’equivalenza polinomiale, proprio delle equazioni, vengono introdotti i simboli “>”, “<”, “>=”, “<=”, a testimonianza di una non equivalenza polinomiale.

Nello spazio monodimensionale, dunque lungo una linea o un asse infinito, il risultato di una equazione lineare, graficamente, risulta sempre e solo una coordinata di un punto, mentre il risultato di una disequazione lineare risulta un tratto.

Nello spazio bidimensionale, dunque su un piano cartesiano classico, il risultato di una equazione lineare risulta una retta, mentre il risultato di una disequazione lineare risulta un’Area.

Il simbolo di disuguaglianza > o < unito al simbolo di uguaglianza = indica come, nel risultato algebrico della disequazione, il punto in questione sia compreso nel risultato, e, dunque, proiettando quest’ultimo su una linea monodimensionale, esso appartenga al tratto del risultato della disequazione e, proiettandolo, invece, su un piano cartesiano bidimensionale, esso appartenga all’area del risultato della disequazione medesima.

Le equazioni di primo grado ridotte in forma normale a due variabili rappresenteranno sempre rette incidenti con gli assi cartesiani.

y=+mx +q

y=-mx +q

Le disequazioni di primo grado ridotte in forma normale a due variabili rappresenteranno sempre aree infinite che per il loro lato di origine saranno incidenti rispetto agli assi cartesiani.

y>=mx +q

y<=mx +q

Le equazioni di primo grado ridotte in forma normale ad una variabile rappresenteranno sempre rette ortogonali o coincidenti agli assi cartesiani.

Ortogonali

y=q

x=q

con q diverso da 0

Coincidenti

y=0

x=0

Le disequazioni di primo grado ridotte in forma normale ad una variabile rappresenteranno sempre aree infinite che per il loro lato di origine saranno ortogonali o coincidenti agli assi cartesiani.

Ortogonali

y>=q

y<=q

x>=q

x<=q

con q diverso da 0

Coincidenti

y>=0

y<=0

x>=0

x<=0

Tuttavia, considerando l’asse y a partire dall’equazione esplicita della retta generica, si osserva un diverso sviluppo grafico:

l’equazione esplicita di una retta generica risulta: y = mx + q

Per quanto riguarda “q”, esso corrisponde, per le ordinate, al punto d’intersezione della retta con l’asse y. Se la retta analizzata è l’asse y, esso con se stesso non ha punti di intersezione, ma con se stesso risulta coincidente, dunque, considerando l’asse y come una retta costituita da un insieme infinito di punti, esso con se stesso coinciderà in infiniti punti, di conseguenza, il valore di ”q” nella sua equazione esplicita varrà “infinito”.

Per quanto riguarda il coefficiente “m”:

Se "m" risulta il valore indicante la misura del cateto verticale del triangolo rettangolo costruito a partire da q in verso x e se il cateto orizzontale di tale triangolo risulta il segmento di lunghezza "1 unità", allora:

se la retta risultasse verticale, caso che noi vogliamo analizzare ora per studiare il valore di “m” nell’equazione dell’asse cartesiano y, accadrebbe che:

tanto più l’ipotetica retta che vogliamo che coincida con l’asse y aumenterà la sua inclinazione e, di conseguenza, si avvicinerà all’asse delle y, tanto più il suo coefficiente angolare avrà un valore sempre maggiore e, dunque, nel caso dell’asse y, ovvero di una retta verticale, che risulta, per definizione, una retta con pendenza massima, il coefficiente angolare “m” avrà il valore più grande che si possa ipotizzare, perciò risulterà infinito.

Se la massima inclinazione di una retta è data dal rapporto tra il valore infinito del cateto verticale del triangolo ed il valore 1 del cateto orizzontale, sebbene il numeratore sia un valore infinito, per cui la sua inclinazione, essendo massima rispetto all’asse x, genererà una retta verticale, ci sarà comunque un infinitesimo spostamento di partenza rispetto all’asse y, uno spostamento unitario che non permetterà la coincidenza perfetta dell’equazione esplicita con m uguale ad infinito con l’asse y.

Dunque, la seguente retta coincidente e rappresentante l’asse delle y, di equazione y = oox + oo, se m è uguale a +infinito, sarà ruotata di un infinitesimo in senso orario rispetto all’asse y, e se m è uguale a –infinito, sarà ruotata di un infinitesimo in senso antiorario rispetto all’asse y.

Analizzando, quindi, la ridefinizione delle rispettive aree di influenza generate dalla disequazione lineare ad una variabile corrispondente all’asse y sul piano cartesiano, considerando l’asse delle ordinate a partire dall’equazione esplicita della retta, i risultati saranno i seguenti:

Per y = oox + oo, inteso come x=0, rispetto agli intervalli di x:

la disequazione y >= +oox + oo, genererà il terzo quadrante di intervallo [-oo,0-] ed il secondo quadrante di intervallo [-oo,o+] e la disequazione y<=+oox + oo genererà il primo quadrante di l’intervallo [o+,+oo] ed il quarto quadrante di intervallo [o-,+oo].

la disequazione y >=-oox + oo genererà il primo quadrante di intervallo [0-,+oo] ed il quarto quadrante di intervallo [0+,+oo] e la disequazione y<=-oox +oo genererà il terzo quadrante di intervallo [-oo,0+] ed il secondo quadrante di intervallo [-oo,0-].